是的，localStorage 存在跨域问题。
浏览器的同源策略限制了不同源（协议、域名、端口）间的交互，包括读写 localStorage。
如果页面 A 的域名是 www.example.com，页面 B 的域名是 api.example.com，那么在页面 A 中无法直接读写或访问页面 B 的 localStorage。
解决 localStorage 跨域问题的常用方法是使用跨域消息传递 (cross-origin messaging) 技术，通过 postMessage 方法进行跨文档消息的传递，从而实现在不同域间进行通信。
另外，如果是将两个页面嵌入到同一个域名下的 iframe 中，可以通过 iframe 的 contentWindow 对象直接访问到另一个页面中的 localStorage。